图解四种常见背包问题及优化方式-创新互联
背包分类
文章名称:图解四种常见背包问题及优化方式-创新互联
文章链接:http://ybzwz.com/article/pedss.html
每 件/种 物品体积Vi
不超过背包容量的总价值大化W(不一定装满)
- 01 背包:每件物品最多只用一次
- 完全背包:每件物品无限个
- 多重背包:每件物品有限ai个
- 分组背包:从每组选择一个
#include#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];//默认初始为0
int dp[N][N];
int main() { cin >>n >>m;
for (int i = 1; i<=n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
for(int i = 1; i<=n; i++)
for(int j = 0; j<=m; j++) { dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
cout<
代码实现(滚动数组,转态压缩)#include#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int dp[N];
int main() {cin>>n>>m;
for (int i = 1; i<= n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = m; j >= v[i]; j--) { //这里空集部分判断直接挪到循环里面
//不用推导,直接继承上一层
dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
cout<
完全背包与数列推导优化最朴素的思路起点代码实现(显然会超时,1000三次方过亿次了,C++的 1s 大体运行一亿次)#include#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main() {cin >>n >>m;
for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = 0; j<= m; j++)
for(int k = 0; k*v[i]<= j; k++)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
cout<< f[n][m]<
DP常见的数列推导优化推导递推公式,常减去一项来观察规律实现降维。
#include#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main() {cin >>n >>m;
for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = 0; j<= m; j++) { f[i][j] = f[i-1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<< f[n][m]<
状态压缩区分 01背包(全上层) 和 完全背包(本层+上层) 的遍历顺序。
#include#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main() {cin >>n >>m;
for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i];
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = v[i]; j<= m; j++) { f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
cout<< f[m]<
多重背包与二进制枚举优化最朴素的思路起点(如果数据过大和完全背包一样超时)#include#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main() {cin >>n >>m;
for(int i = 1; i<= n; i++) cin >>v[i] >>w[i] >>s[i];
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = 0; j<= m; j++)
for(int k = 0; k*v[i]<= j && k<= s[i]; k++) { f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
cout<< f[n][m]<
二进制枚举优化比如要枚举0->1023中所有的数能不能凑成其中任意一个数
我们平常的枚举方法就是:0,1,2,3,4,5,…,1023。这样枚举1024次
使用二进制枚举优化,就可以只需枚举10次就可以枚举出任意一个数。
将0~1023这1024个数分为10个组,
每组分别是:1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 这10个数字(2^0 2^1 2^2 … 2^9)。
在枚举的时候只枚举这10个数字,选或不选。就可以枚举出0~1023中的任意一个数字
#include#include
using namespace std;
const int N = 25000;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main() {cin >>n >>m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i<= n; i++) {int a,b,s;
cin >>a >>b >>s;
int k = 1;
while(k<= s) {cnt++;
v[cnt] = a*k;
w[cnt] = b*k;
s -= k;
k *= 2;
}
if(s >0) {cnt++;
v[cnt] = a*s;
w[cnt] = b*s;
}
}
n = cnt;
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
cout<< f[m]<< endl;
return 0;
}
分组背包与状态压缩总结和01背包特别像,不过多一个组内选择状态压缩以及遍历顺序的总结只要是上一层推导的,则从后往前
如果是同层推导的,则从前往后
只要是由上层某个方向定向推来的,就可以进行状态压缩
#include#include
using namespace std;
const int N = 110;
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];
int n,m;
int main() {cin >>n >>m;
for(int i = 1; i<= n; i++) {cin >>s[i];
for(int j = 1; j<= s[i]; j++) {cin >>v[i][j] >>w[i][j];
}
}
for(int i = 1; i<= n; i++)
for(int j = m; j >= 0; j--)
for(int k = 1; k<= s[i]; k++)
if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
cout<< f[m]<< endl;
return 0;
}
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