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case/control的关联分析，本质是寻找在两组间基因型分布有差异的SNP位点，这些位点就是候选的关联信号，常用的分析方法有以下几种

1. 卡方检验

2. 费舍尔精确检验

3. 逻辑回归

卡方检验是一种用途广泛的假设检验，属于非参数的检验一种，适合针对分类变量的分析。从形式上看，数据是由行和列对应的两个分类变量构成的表格，示意如下

对于case/control的关联分析，我们有两个分类变量，第一个就是样本的分组， 有case和control两组；第二个是Allel或者基因型的类别，对于Allele而言有两种，major和minor allele。对于基因型而言， 在上图中有AA, Aa, aa3种，当然在实际分析中，还会考虑遗传模型进一步对基因型的类别进行划分，常用的遗传模型有以下几种

1. domanant model, 显性遗传模型，只要有突变位点就会致病，所以杂合突变和纯合突变归位一类，基因型就划分为两类，第一类为AA和Aa, 第二类为aa

2. recessive model, 隐性模型， 只有纯合突变会致病，基因型同样划分为两类，第一类为纯合突变AA, 第二类为非纯合突变，Aa和aa

3. additive model, 相加模型，突变位点的个数会影响性状的表型值，而且是累加关系，纯合突变的突变位点个数是杂合突变的2倍，对应的性状是不同的，基因型划分为3类, AA，Aa, aa

4. multiplicative model, 相乘模型，突变位点的个数会影响性状的表型值，而且是相乘关系，纯合突变的突变位点个数是杂合突变的4倍，对应的性状是不同的，基因型划分为3类, AA，Aa, aa

以上模型根据划分的类别可以分为3大类，第一类是显性遗传模型，第二类是隐性遗传模型，第三类是additive, multiplicative model和常规的基因型分类，这三种模型都是划分为了3种基因型。

对于卡方检验，首先需要根据表格中的频数分布计算卡方统计量，公式如下

A表示实际频数，T表示理论频数，从公式可以看到，卡方统计量代表的是实际值与理论值之间的差异。看一个具体的例子

Genotype	AA	Aa	aa
Case	30	15	55
Control	28	12	60

上图表示的是两组实际观测到的基因型频数分布，对应的频率分布如下

Genotype	AA	Aa	aa
Case	30%	15%	55%
Control	28%	12%	60%

从数值上看，直观的可以看两组间分布有差异，但是这个差异是由抽样导致的误差还是真实存在的差异不知道。先假设两组间没有差异，合并样本，再次统计对应的频率，分别为29%， 13.5%，57.5% ，这3个数值就是理论频率, 根据这个频率来计算理论频数

Genotype	AA	Aa	aa
Case	100 x 29%	100 x 13.5%	100 x 57.5%
Control	100 x 29%	100 x 13.5 %	100 x 57.5 %

然后通过公式来计算卡方值，最终的计算结果为0.61969， 对应的R代码如下

从上图可以看到，对于卡方检验，除了卡方值X-squared之外，还有df和p-value两个值。df表示自由度，取值为（行数 - 1) X (列数 - 1)， 上述数据为2X3的表格，自由度为2。为什么要考虑自由度呢？

这就要从卡方分布的定义说起，对于N个符合标准正态分布的变量，其平方和服从卡方分布，自由度指的就是这里的N, 不同自由度卡方分布是不同的，如下图所示

上图所示是不同自由度下卡方值的密度分布，不同自由度之间差别很大，所以我们需要先明确对应的自由度才可以利用卡方值来做出判断。利用自由度和卡方值，我们需要去查询卡方值分布表，获得对应的p值。在R中对应的操作代码如下

1 - pchisq(0.6196902, df = 2)
[1] 0.7335606

pchisq代表是卡方值的累计分布函数，代表卡方值小于0.6196902的概率。卡方分布表中为大于阈值的概率，示意如下

卡方值越小，对应的概率越大。自由度为2，P=0.05对应的卡方临界值为5.99， 上述示例的卡方值小于该临界值，说明发生的概率大于0.05，拒绝原假设，case/control组间差异不显著。

卡方检验虽然使用范围广泛，但还是有一些限制，样本量必须大于40， 而且最小的频数不能小于5,  这里的频数指的是理论频数

对于2X2的数据，当不满足要求时，推荐使用费舍尔精确检验来进行分析。

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