Python--math库

Python math 库提供许多对浮点数的数学运算函数，math模块不支持复数运算，若需计算复数，可使用cmath模块（本文不赘述）。

让客户满意是我们工作的目标，不断超越客户的期望值来自于我们对这个行业的热爱。我们立志把好的技术通过有效、简单的方式提供给客户，将通过不懈努力成为客户在信息化领域值得信任、有价值的长期合作伙伴，公司提供的服务项目有：域名注册、虚拟主机、营销软件、网站建设、湘潭网站维护、网站推广。

使用dir函数，查看math库中包含的所有内容：

1） math.pi    # 圆周率π

2） math.e    #自然对数底数

3） math.inf    #正无穷大∞，-math.inf    #负无穷大-∞

4） math.nan    #非浮点数标记，NaN（not a number）

1） math.fabs(x)    #表示X值的绝对值

2） math.fmod(x,y)    #表示x/y的余数，结果为浮点数

3） math.fsum([x,y,z])    #对括号内每个元素求和，其值为浮点数

4） math.ceil(x)    #向上取整，返回不小于x的最小整数

5）math.floor(x)    #向下取整，返回不大于x的最大整数

6） math.factorial(x)    #表示X的阶乘，其中X值必须为整型，否则报错

7） math.gcd(a,b)    #表示a,b的最大公约数

8）  math.frexp(x)      #x = i *2^j，返回（i，j）

9） math.ldexp(x,i)    #返回x*2^i的运算值，为math.frexp(x)函数的反运算

10） math.modf(x)    #表示x的小数和整数部分

11） math.trunc(x)    #表示x值的整数部分

12） math.copysign(x,y)    #表示用数值y的正负号，替换x值的正负号

13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y)    #表示a，b的相似性，真值返回True，否则False；rel_tol是相对公差：表示a，b之间允许的最大差值，abs_tol是最小绝对公差，对比较接近于0有用，abs_tol必须至少为0。

14） math.isfinite(x)    #表示当x不为无穷大时，返回True，否则返回False

15） math.isinf(x)    #当x为±∞时，返回True，否则返回False

16） math.isnan(x)    #当x是NaN，返回True，否则返回False

1） math.pow(x,y)    #表示x的y次幂

2） math.exp(x)    #表示e的x次幂

3） math.expm1(x)    #表示e的x次幂减1

4） math.sqrt(x)    #表示x的平方根

5） math.log（x,base）    #表示x的对数值，仅输入x值时，表示ln(x)函数

6） math.log1p(x)    #表示1+x的自然对数值

7） math.log2(x)    #表示以2为底的x对数值

8） math.log10(x)    #表示以10为底的x的对数值

1） math.degrees(x)    #表示弧度值转角度值

2） math.radians(x)    #表示角度值转弧度值

3） math.hypot(x,y)    #表示(x,y)坐标到原点(0,0)的距离

4） math.sin(x)    #表示x的正弦函数值

5） math.cos(x)    #表示x的余弦函数值

6） math.tan(x)    #表示x的正切函数值

7）math.asin(x)    #表示x的反正弦函数值

8） math.acos(x)    #表示x的反余弦函数值

9） math.atan(x)    #表示x的反正切函数值

10） math.atan2(y,x)    #表示y/x的反正切函数值

11） math.sinh(x)    #表示x的双曲正弦函数值

12） math.cosh(x)    #表示x的双曲余弦函数值

13） math.tanh(x)    #表示x的双曲正切函数值

14） math.asinh(x)    #表示x的反双曲正弦函数值

15） math.acosh(x)    #表示x的反双曲余弦函数值

16） math.atanh(x)    #表示x的反双曲正切函数值

1）math.erf(x)    #高斯误差函数

2） math.erfc(x)    #余补高斯误差函数

3） math.gamma(x)    #伽马函数（欧拉第二积分函数）

4） math.lgamma(x)    #伽马函数的自然对数

高斯函数、高斯积分和正态分布

正态分布是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心极限定理原理的函数，该定理指出当随机样本足够大时，总体样本将趋向于期望值并且远离期望值的值将不太频繁地出现。高斯积分是高斯函数在整条实数线上的定积分。这三个主题，高斯函数、高斯积分和高斯概率分布是这样交织在一起的，所以我认为最好尝试一次性解决这三个主题（但是我错了，这是本篇文章的不同主题）。本篇文章我们首先将研究高斯函数的一般定义是什么，然后将看一下高斯积分，其结果对于确定正态分布的归一化常数是非常必要的。最后我们将使用收集的信息理解，推导出正态分布方程。

首先，让我们了解高斯函数实际上是什么。高斯函数是将指数函数 exp(x) 与凹二次函数（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2组成的函数。结果是一系列呈现“钟形曲线”的形状的函数。

两个高斯函数的图。第一个高斯(绿色)的λ=1和a=1。第二个(橙色)λ=2和a=1.5。两个函数都不是标准化的。也就是说，曲线下的面积不等于1。

大多数人都熟悉这类曲线是因为它们在概率和统计中被广泛使用，尤其是作为正态分布随机变量的概率密度函数。在这些情况下，函数具有的系数和参数既可以缩放“钟形”的振幅，改变其标准差(宽度)，又可以平移平均值，所有这一切都是在曲线下的面积进行归一化(缩放钟形，使曲线下的面积总是等于1)的同时进行的。结果是一个高斯函数包含了一大堆的参数来影响这些结果。

如果将其认为是均值 = μ 且标准差 = σ 的正态分布方程。将其与高斯 λ exp(-ax^2) 的一般形式进行比较，我们可以看到：

前导系数 λ 有时表示为 1/Z，其中 Z=√2πσ 2，正是这样的一个结果将我们带到了本文的主要观点之一：√2πσ 2有时被称为一个自变量的正态分布的归一化常数，而1/√2πσ2则被称为归一化常数。在这两种情况下，公式中都有 π，它是从哪里来的？它通常与圆、径向对称和/或极坐标相关联。单个变量的函数如何以 π 作为其在前导系数中的归一化参数之一呢？

可以参考我们以前的文章，里面有非常详细的描述

不定积分 ∫ exp(x^2) dx 不可能用初等函数求解。有没有任何积分方法可以用来求解不定积分？

可以计算定积分，如上所述，首先对高斯函数求平方从而在 x 和 y 中产生一个具有径向对称二维图的两个变量函数。这样能够将直角坐标系转换为极坐标，在此基础上就可以使用更熟悉的积分方法（例如置换）进行积分。然后，简单地取结果的平方根（因为我们在开始时对积分进行平方） 就得到了我们的答案，顺便说一句，结果是是√π。

方法的第一步是对积分求平方——也就是说，我们将一维转换为二维，这样就可以使用多变量微积分的技术来求解积分

可以重写为：

这两个积分用x和y表示是等价的;所以它等同于x的单个积分的平方。因为变量x和y是独立的，所以可以把它们移进或移出第二个积分符号，可以这样写:

如果你不熟悉如何解二重积分也不用担心。只需先使用内部变量进行积分得到单个积分。然后用左边的变量和外面的变量积分。但现在还不需要这么做。这里需要注意的是当我们对积分进行平方时，得到了一个二维的图形化的径向对称的高斯函数。用x和y来表示积分e的指数是- (x 2+y 2)给了我们下一步应该做什么的线索。

这里棘手的部分是，我们必须将直角坐标下的二重积分转换成极坐标下的二重积分。

为了在极坐标中对整个无限区域进行积分，我们首先对 exp(−r²) 相对于从 x=0 开始并延伸到无穷大的半径 r 进行积分。结果是一个无限薄的楔形，看起来像我们原始一维高斯曲线的一半。然后我们围绕旋转轴 Z 轴旋转楔形，并累积无限数量的这些极薄的楔形。也就是说——我们在 π 从 0 到 2π 时积分。

我们现在的二重积分看起来像这样:

我们可以用 r^2 替换指数中的 −(x 2+y 2)，这要感谢毕达哥拉斯。但是我们仍然需要将我们的微分从矩形转换为极坐标。

微分的转换简单的表示如下：

在任何情况下，我们的二重积分现在看起来像这样:

添加适当的积分边界:

如果我们设u=r^2，那么du=2r，我们可以写成(对于内积分)

然后求出外积分:

所以:

我们在下一节求解标准化常数时，这个结果很重要。

现在我们有了推导正态分布函数的所有前提。下面将分两步来做：首先确定我们需要的概率密度函数。这意味着以λ为单位重新转换-a-产生的函数，无论为λ选择什么值，曲线下的面积总是1。然后用随机变量的方差σ^2来转换λ。对整个实数线上的方差进行积分 从而得到我们在前导系数 √2πσ^2 中需要归一化常数的项，也是我们在分母中需要的项指数 2σ^2。我们将使用分部积分来求解方差积分。

我们将从广义高斯函数f(x)=λ exp(−ax^2)开始，正态分布下的面积必须等于1所以我们首先设置广义高斯函数的值，对整个实数线积分等于1

这里将 -a- 替换为 a^2 稍微修改了高斯分布。为什么要这样做？因为它可以使用 换元积分 U-substitution 来解决这个积分。为什么我们可以这样做？因为 -a- 是一个任意常数，所以a^2 也只是一个任意常数，可以使用 U-substitution 求解。让 u=ax 和 du=a dx 这意味着 dx=du/a， 由于 λ 和 1/a 是常数，我们可以将它们移到积分符号之外，得到：

我们从上面关于高斯积分的讨论中知道，右边积分的值等于√π。这样就可以改成：

求解 -a- 可以这样写：

根据已经发现的λ 和 -a- 之间的关系，修改后的高斯下的面积总是等于 1 也是必须的，所以我们可以进一步修改，用 πλ^2 代替 a^2 并写：

无论 λ 的值如何，该曲线下的面积始终为 1。这是我们的概率密度函数。

在获得归一化概率分布函数之前还需要做一件事：必须将 λ 重写为随机变量方差 σ^2 的函数。这将涉及对整个实数线的方差表达式进行积分所以需要采用按分部积分来完成此操作。

如果给定一个概率密度函数 f(x) 和一个均值 μ，则方差定义为从均值平方(x - μ)^2的偏差乘以整个实数线的概率密度函数f(x)的积分:

假设μ=0，因为已经有了概率密度函数h(x)，所以可以写成

用分部积分法求解这个积分有:

第一项归零是因为指数中的x^2项比前一项分子中的- x项趋近于∞的速度快得多所以我们得到

右边的被积函数是概率密度函数，已经知道当对整个实数线进行积分时它的值是1 :

求解 λ 得到：

将 λ 的 1/√2πσ^2 代入我们的修改后的公式（即我们的概率密度函数），我们得到：

剩下要做的就是将平均值 μ 放入指数的分子中，以便可以根据 μ 的值沿 x 轴平移图形：

这样就完成了方程推导

作者 ：Manin Bocss

2021-02-08 Python OpenCV GaussianBlur()函数

borderType= None)函数

此函数利用高斯滤波器平滑一张图像。该函数将源图像与指定的高斯核进行卷积。

src:输入图像

ksize:(核的宽度,核的高度)，输入高斯核的尺寸，核的宽高都必须是正奇数。否则，将会从参数sigma中计算得到。

dst:输出图像，尺寸与输入图像一致。

sigmaX:高斯核在X方向上的标准差。

sigmaY:高斯核在Y方向上的标准差。默认为None，如果sigmaY=0，则它将被设置为与sigmaX相等的值。如果这两者都为0,则它们的值会从ksize中计算得到。计算公式为：

borderType:像素外推法，默认为None（参考官方文档 BorderTypes

)

在图像处理中，高斯滤波主要有两种方式：

1.窗口滑动卷积

2.傅里叶变换

在此主要利用窗口滑动卷积。其中二维高斯函数公式为：

根据上述公式，生成一个3x3的高斯核，其中最重要的参数就是标准差 ，标准差 越大，核中心的值与周围的值差距越小，曲线越平滑。标准差 越小，核中心的值与周围的值差距越大，曲线越陡峭。

从图像的角度来说，高斯核的标准差 越大，平滑效果越不明显。高斯核的标准差 越小，平滑效果越明显。

可见，标准差 越大，图像平滑程度越大

参考博客1:关于GaussianBlur函数

参考博客2:关于高斯核运算

怎么用python表示出二维高斯分布函数，mu表示均值，sigma表示协方差矩阵，x表示数据点

clear 

close all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%生成实验数据集

rand('state',0)

sigma_matrix1=eye(2);

sigma_matrix2=50*eye(2);

u1=[0,0];

u2=[30,30];

m1=100;

m2=300;%样本数

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%sm1数据集

Y1=multivrandn(u1,m1,sigma_matrix1);

Y2=multivrandn(u2,m2,sigma_matrix2);

scatter(Y1(:,1),Y1(:,2),'bo')

hold on

scatter(Y2(:,1),Y2(:,2),'r*')

title('SM1数据集')

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%sm2数据集

u11=[0,0];

u22=[5,5];

u33=[10,10];

u44=[15,15];

m=600;

sigma_matrix3=2*eye(2);

Y11=multivrandn(u11,m,sigma_matrix3);

Y22=multivrandn(u22,m,sigma_matrix3);

Y33=multivrandn(u33,m,sigma_matrix3);

Y44=multivrandn(u44,m,sigma_matrix3);

figure(2)

scatter(Y11(:,1),Y11(:,2),'bo')

hold on

scatter(Y22(:,1),Y22(:,2),'r*')

scatter(Y33(:,1),Y33(:,2),'go')

scatter(Y44(:,1),Y44(:,2),'c*')

title('SM2数据集')

end

function Y = multivrandn(u,m,sigma_matrix)

%%生成指定均值和协方差矩阵的高斯数据

n=length(u);

c = chol(sigma_matrix);

X=randn(m,n);

Y=X*c+ones(m,1)*u;

end

[译] 高斯混合模型 --- python教程

本文翻译自

上一节中探讨的k-means聚类模型简单易懂，但其简单性导致其应用中存在实际挑战。具体而言，k-means的非概率特性及简单地计算点与类蔟中心的欧式距离来判定归属，会导致其在许多真实的场景中性能较差。本节，我们将探讨高斯混合模型(GMMs)，其可以看成k-means的延伸，更可以看成一个强有力的估计工具，而不仅仅是聚类。

我们将以一个标准的import开始

我们看下k-means的缺陷，思考下如何提高聚类模型。正如上一节所示，给定简单，易于分类的数据，k-means能找到合适的聚类结果。

举例而言，假设我们有些简单的数据点，k-means算法能以某种方式很快地将它们聚类，跟我们肉眼分辨的结果很接近：

从直观的角度来看，我可能期望聚类分配时，某些点比其他的更确定：举例而言，中间两个聚类之间似乎存在非常轻微的重叠，这样我们可能对这些数据点的分配没有完全的信心。不幸的是，k-means模型没有聚类分配的概率或不确定性的内在度量（尽管可能使用bootstrap 的方式来估计这种不确定性）。为此，我们必须考虑泛化这种模型。

k-means模型的一种理解思路是，它在每个类蔟的中心放置了一个圈（或者，更高维度超球面)，其半径由聚类中最远的点确定。该半径充当训练集中聚类分配的一个硬截断：任何圈外的数据点不被视为该类的成员。我们可以使用以下函数可视化这个聚类模型：

观察k-means的一个重要发现，这些聚类模式必须是圆形的。k-means没有内置的方法来计算椭圆形或椭圆形的簇。因此，举例而言，假设我们将相同的数据点作变换，这种聚类分配方式最终变得混乱：

高斯混合模型（GMM）试图找到一个多维高斯概率分布的混合，以模拟任何输入数据集。在最简单的情况下，GMM可用于以与k-means相同的方式聚类。

但因为GMM包含概率模型，因此可以找到聚类分配的概率方式 - 在Scikit-Learn中，通过调用predict_proba方法实现。它将返回一个大小为[n_samples, n_clusters]的矩阵，用于衡量每个点属于给定类别的概率：

我们可以可视化这种不确定性，比如每个点的大小与预测的确定性成比例；如下图，我们可以看到正是群集之间边界处的点反映了群集分配的不确定性：

本质上说，高斯混合模型与k-means非常相似：它使用期望-最大化的方式，定性地执行以下操作：

有了这个，我们可以看看四成分的GMM为我们的初始数据提供了什么：

同样，我们可以使用GMM方法来拟合我们的拉伸数据集；允许full的协方差，该模型甚至可以适应非常椭圆形，伸展的聚类模式：

这清楚地表明GMM解决了以前遇到的k-means的两个主要实际问题。

如果看了之前拟合的细节，你将看到covariance_type选项在每个中都设置不同。该超参数控制每个类簇的形状的自由度；对于任意给定的问题，必须仔细设置。默认值为covariance_type =“diag”，这意味着可以独立设置沿每个维度的类蔟大小，并将得到的椭圆约束为与轴对齐。一个稍微简单和快速的模型是covariance_type =“spherical”，它约束了类簇的形状，使得所有维度都相等。尽管它并不完全等效，其产生的聚类将具有与k均值相似的特征。更复杂且计算量更大的模型（特别是随着维数的增长）是使用covariance_type =“full”，这允许将每个簇建模为具有任意方向的椭圆。

对于一个类蔟，下图我们可以看到这三个选项的可视化表示：

尽管GMM通常被归类为聚类算法，但从根本上说它是一种密度估算算法。也就是说，GMM适合某些数据的结果在技术上不是聚类模型，而是描述数据分布的生成概率模型。

例如，考虑一下Scikit-Learn的make_moons函数生成的一些数据：

如果我们尝试用视为聚类模型的双成分的GMM模拟数据，则结果不是特别有用：

但是如果我们使用更多成分的GMM模型，并忽视聚类的类别，我们会发现更接近输入数据的拟合：

这里，16个高斯分布的混合不是为了找到分离的数据簇，而是为了对输入数据的整体分布进行建模。这是分布的一个生成模型，这意味着GMM为我们提供了生成与我们的输入类似分布的新随机数据的方法。例如，以下是从这个16分量GMM拟合到我们原始数据的400个新点：

GMM非常方便，可以灵活地建模任意多维数据分布。

GMM是一种生成模型这一事实为我们提供了一种确定给定数据集的最佳组件数的自然方法。生成模型本质上是数据集的概率分布，因此我们可以简单地评估模型下数据的可能性，使用交叉验证来避免过度拟合。校正过度拟合的另一种方法是使用一些分析标准来调整模型可能性，例如 Akaike information criterion (AIC) 或 Bayesian information criterion (BIC) 。Scikit-Learn的GMM估计器实际上包含计算这两者的内置方法，因此在这种方法上操作非常容易。

让我们看看在moon数据集中，使用AIC和BIC函数确定GMM组件数量：

最佳的聚类数目是使得AIC或BIC最小化的值，具体取决于我们希望使用的近似值。 AIC告诉我们，我们上面选择的16个组件可能太多了：大约8-12个组件可能是更好的选择。与此类问题一样，BIC建议使用更简单的模型。

注意重点：这个组件数量的选择衡量GMM作为密度估算器的效果，而不是它作为聚类算法的效果。我鼓励您将GMM主要视为密度估算器，并且只有在简单数据集中保证时才将其用于聚类。

我们刚刚看到了一个使用GMM作为数据生成模型的简单示例，以便根据输入数据定义的分布创建新样本。在这里，我们将运行这个想法，并从我们以前使用过的标准数字语料库中生成新的手写数字。

首先，让我们使用Scikit-Learn的数据工具加载数字数据：

接下来让我们绘制前100个，以准确回忆我们正在看的内容：

我们有64个维度的近1,800位数字，我们可以在这些位置上构建GMM以产生更多。 GMM可能难以在如此高维空间中收敛，因此我们将从数据上的可逆维数减少算法开始。在这里，我们将使用一个简单的PCA，要求它保留99％的预测数据方差：

结果是41个维度，减少了近1/3，几乎没有信息丢失。根据这些预测数据，让我们使用AIC来计算我们应该使用的GMM组件的数量：

似乎大约110个components最小化了AIC；我们将使用这个模型。我们迅速将其与数据拟合并确保它已收敛合：

现在我们可以使用GMM作为生成模型在这个41维投影空间内绘制100个新点的样本：

最后，我们可以使用PCA对象的逆变换来构造新的数字：

大部分结果看起来像数据集中合理的数字！

考虑一下我们在这里做了什么：给定一个手写数字的样本，我们已经模拟了数据的分布，这样我们就可以从数据中生成全新的数字样本：这些是“手写数字”，不是单独的出现在原始数据集中，而是捕获混合模型建模的输入数据的一般特征。这种数字生成模型可以证明作为贝叶斯生成分类器的一个组成部分非常有用，我们将在下一节中看到。

python能做什么科学计算

python做科学计算的特点：1. 科学库很全。（推荐学习：Python视频教程）

科学库：numpy，scipy。作图：matplotpb。并行：mpi4py。调试：pdb。

2. 效率高。

如果你能学好numpy（array特性，f2py），那么你代码执行效率不会比fortran，C差太多。但如果你用不好array，那样写出来的程序效率就只能呵呵了。所以入门后，请一定花足够多的时间去了解numpy的array类。

3. 易于调试。

pdb是我见过最好的调试工具，没有之一。直接在程序断点处给你一个截面，这只有文本解释语言才能办到。毫不夸张的说，你用python开发程序只要fortran的1/10时间。

4. 其他。

它丰富而且统一，不像C++的库那么杂（好比pnux的各种发行版），python学好numpy就可以做科学计算了。python的第三方库很全，但是不杂。python基于类的语言特性让它比起fortran等更加容易规模化开发。

数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。

高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。

洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

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