分形之曼德勃罗集-创新互联
分形的定义及介绍，知乎、百度上非常多。分形有很多， 其中曼德勃罗集是我上大学时老师讲的一个，当时感觉非常惊奇，一直记得。前几天又突发奇想，看看分形的图片，现在网上真是多。就捯饬了一个。觉得还是很有意思。
下面以曼德勃罗集分形公式，利用C++builder XE8做一个小小的程序。系统是Windows10，64位。
一、曼德勃罗集公式
曼德勃罗特集是一个几何图形， 是曼德勃罗教授在上个世纪七十年代发现的。 这个点集出自迭代公式：
其中，、均为复数。
对于该非线性迭代公式，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数z的集合(也称该迭代函数的Julia集)连通的，构成曼德勃罗集。
二、曼德勃罗分形迭代公式
设：
可得到：
即：
对每一个连通点的C，利用上述公式进行迭代，并且满足一定的迭代次数或者收敛点。对一系列的连通点集进行迭代，即可得到曼德勃罗集。
三、利用C++builder XE8编程
下面是代码，有详细的说明。
程序文件：
//---------------------------------------------------------------------------
#include#pragma hdrstop
#include "main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TMainForm *MainForm;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TMainForm::TMainForm(TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
//创建总体视图时进行初始化。
void __fastcall TMainForm::FormCreate(TObject *Sender)
{
MainForm->Width = 560;
MainForm->Height = 436;
MainForm->BorderStyle = bsSingle; //设置为不可调整大小
MainForm->Color = clSkyBlue; //设置背景为天蓝色
FractalImage->Height = 400; //设置图像高度
FractalImage->Width = 400; //设置图像宽度
FractalImage->Canvas->Pen->Color=clBlack; //设置图像画笔为黑色
ZoomShape->Brush->Style = bsClear; //放大框只保留外框线条
ZoomShape->Visible = false; //刚创建时，先隐藏放大框
for(int i=0;i<400;i++) //把图片置黑色
{
FractalImage->Canvas->MoveTo(i,0); //移动至第i列
FractalImage->Canvas->LineTo(i,400); //竖着画黑色线
}
mousedownFlag=false; //鼠标标志关闭
ZoomBut->Enabled=false; //没有图的时候，关闭放大功能
}
//---------------------------------------------------------------------------
//分形重置
//左下角为（-2.5，-2.0），宽高为4.0，因此右上角为（1.5，2.0）
void __fastcall TMainForm::ResetButClick(TObject *Sender)
{
x1=-2.5; //最原始的两个坐标。使用这两个数字可以使图形居中。
y1=-2.0; //
width1=4.0; //整个宽度为4。这个是基数。
ZoomButClick( ResetBut );
}
//---------------------------------------------------------------------------
//用于放大选择的区域
void __fastcall TMainForm::ZoomButClick(TObject *Sender)
{
int i,j; //行，列
int red,green,blue,times; //设置各像素点的颜色及迭代次数；
long double zx,zy,zxs,zys;
bool inset; //置色标志
FinishFlag=false; //计算完成置否
ZoomShape->Visible = false; //隐藏放大框
ResetBut->Enabled=false; //关闭复位功能
ZoomBut->Enabled=false; //关闭放大功能
ExitBut->Enabled=false; //关闭退出功能
if( width1 >0 )
{
width=width1;
X0=x1;
Y0=y1;
IterationDetail=IterationEdit->Text.ToInt(); //得到迭代次数
ScaleEdit->Text=4/width; //放大位数。4为基数宽度。
for(i=0;i<400;i++) //核心代码。按列计算每一个像素点。同时将像素点转换的坐标作为迭代公式中的C
{
c_Real=X0+((double)i)*width/400.0; //计算公式中常数部分的实部
for(j=0;j<400;j++) //计算每一列的每一个像素。自上向下开始计算。
{
c_Image=Y0+((double)(400-j))*width/400.0; //公式中常数部分的虚部
zx=0;
zy=0;
inset=true;
times=0; //对每个像素点的计算都要重新置0。
while( inset && times< IterationDetail ) //当inset为真，且未达到循环次数时，继续计算
{
times++;
zxs=zx*zx;
zys=zy*zy;
zy=2*zx*zy+c_Image; //迭代后的y
zx=zxs-zys+c_Real; //迭代后的X
if( zxs+zys >= 4.0 ) //如果此点的循环次数未到，有发散的情况，则置为false。
inset = false;
}
if( inset ) //如果不发散，则置黑色
{
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB( 0,0,0 ); //这种方法能实现。下面两种方法都可以。
}
else //如果扩散，则用迭代次数times来设置像素点的颜色。
{
red=( times+100 )%200+50; //这几种颜色的数字可以试着修改，会得到不同的颜色。这里的red、green、blue不是真正的红色、绿色和蓝色，而是后面的参数。
green=( times+red )%200+50;
blue=( red+green )%200+50;
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB(red,green,blue); //转换为TColor。
}
}
Update(); //可以看到画线过程。不使用该方法，则是画完图后，一次性更新图片。
}
}
ResetBut->Enabled=true; //打开复位关闭功能
ZoomBut->Enabled=true; //打开放大功能
ExitBut->Enabled=true; //打开退出功能
FinishFlag=true;
}
//---------------------------------------------------------------------------
//计算鼠标左键按下时的坐标值，并转换为相对图片原点的相对坐标
void __fastcall TMainForm::FractalImageMouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
int X, int Y)
{ //图像鼠标坐标值左上角为（0，0），右下角为（400，400）
ZoomShape->Visible = true; //显示放大选择框
if( FinishFlag && Button==mbLeft)
{
ZoomShape->Left=FractalImage->Left+X; //放大选择框的左边为图像的左边+鼠标的横坐标；
ZoomShape->Top=FractalImage->Top+Y; //放大选择框的上边为图像的上边+鼠标的纵坐标；
LtX=X; //记下当鼠标按下时相对图片左上角位置的坐标X
mousedownFlag=true; //记录下按下鼠标的标志
ltx=X0+((double)X)*width/400.0; //计算左上角坐标ltx，转换为相对图片原点（中心点0，0）的坐标
lty=Y0+((double)(400-Y))*width/400.0; //计算左上角坐标lty，转换为相对原点坐标值。
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
//抬起鼠标左键后，记下鼠标位置。转换为相对图片中心（原点）坐标。
void __fastcall TMainForm::FractalImageMouseUp(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
int X, int Y) //计算选中图框后的坐标，并且要保存下来。用于后续的计算。
{
int Wide;
if( FinishFlag && Button == mbLeft ) //计算完成并且是按下鼠标左键
{
mousedownFlag=false;
rbx=X0+((double)X)*width/400.0; //计算相对图片中原点（中心点（0，0）位置的右下角坐标。
width1=rbx-ltx; //计算选框的宽度，这个宽度不是像素宽度，而是坐标宽度。
rby=lty-width1; //选框的高度与宽度一样。
x1=ltx;
y1=rby;
Wide=X-LtX; //用鼠标抬起时的坐标-按下鼠标左键的坐标，得到宽度
ZoomShape->Height=Wide; //选择框的大小。
ZoomShape->Width=Wide; //正方形
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
//没有这个移动的函数也可以，但有了可以画出鼠标移动时的选择框线。其代码与鼠标左键弹起相同。
void __fastcall TMainForm::FractalImageMouseMove(TObject *Sender, TShiftState Shift, int X,
int Y)
{
int Wide;
if( mousedownFlag )
{
rbx=X0+((double)X)*width/400.0; //得到右下角坐标X。
width1=rbx-ltx;
rby=lty-width1; //得到右下角坐标y
x1=ltx;
y1=rby;
Wide=X-LtX; //宽度：鼠标的坐标X-左上角x坐标
ZoomShape->Height=Wide; //放大选择框的高度
ZoomShape->Width=Wide; //放大选择框的宽度。两个相等，为正文形。
// ZoomShape->Update();
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TMainForm::ExitButClick(TObject *Sender)
{
Close();
}
//---------------------------------------------------------------------------
其中，下面是关键代码。这一段，从左上角开始，对每一个像素点进行迭代计算。
//用于放大选择的区域
void __fastcall TMainForm::ZoomButClick(TObject *Sender)
{
int i,j; //行，列
int red,green,blue,times; //设置各像素点的颜色及迭代次数；
long double zx,zy,zxs,zys;
bool inset; //置色标志
FinishFlag=false; //计算完成置否
ZoomShape->Visible = false; //隐藏放大框
ResetBut->Enabled=false; //关闭复位功能
ZoomBut->Enabled=false; //关闭放大功能
ExitBut->Enabled=false; //关闭退出功能
if( width1 >0 )
{
width=width1;
X0=x1;
Y0=y1;
IterationDetail=IterationEdit->Text.ToInt(); //得到迭代次数
ScaleEdit->Text=4/width; //放大位数。4为基数宽度。
for(i=0;i<400;i++) //核心代码。按列计算每一个像素点。同时将像素点转换的坐标作为迭代公式中的C
{
c_Real=X0+((double)i)*width/400.0; //计算公式中常数部分的实部
for(j=0;j<400;j++) //计算每一列的每一个像素。自上向下开始计算。
{
c_Image=Y0+((double)(400-j))*width/400.0; //公式中常数部分的虚部
zx=0;
zy=0;
inset=true;
times=0; //对每个像素点的计算都要重新置0。
while( inset && times< IterationDetail ) //当inset为真，且未达到循环次数时，继续计算
{
times++;
zxs=zx*zx;
zys=zy*zy;
zy=2*zx*zy+c_Image; //迭代后的y
zx=zxs-zys+c_Real; //迭代后的X
if( zxs+zys >= 4.0 ) //如果此点的循环次数未到，有发散的情况，则置为false。
inset = false;
}
if( inset ) //如果不发散，则置黑色
{
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB( 0,0,0 ); //这种方法能实现。下面两种方法都可以。
}
else //如果扩散，则用迭代次数times来设置像素点的颜色。
{
red=( times+100 )%200+50; //这几种颜色的数字可以试着修改，会得到不同的颜色。这里的red、green、blue不是真正的红色、绿色和蓝色，而是后面的参数。
green=( times+red )%200+50;
blue=( red+green )%200+50;
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB(red,green,blue); //转换为TColor。
}
}
Update(); //可以看到画线过程。不使用该方法，则是画完图后，一次性更新图片。
}
}
ResetBut->Enabled=true; //打开复位关闭功能
ZoomBut->Enabled=true; //打开放大功能
ExitBut->Enabled=true; //打开退出功能
FinishFlag=true;
}
//---------------------------------------------------------------------------把像素点的相对坐标（x,y)，作为迭代公式中的C值进行迭代计算。
在迭代次数不到1000次（我的迭代次数）且向量值：>=4.0时，将该点置彩色，色彩值与迭代次数相关；
否则，置该点为黑色。具体就是下面这段代码：
while( inset && times< IterationDetail ) //当inset为真，且未达到循环次数时，继续计算
{
times++;
zxs=zx*zx;
zys=zy*zy;
zy=2*zx*zy+c_Image; //迭代后的y
zx=zxs-zys+c_Real; //迭代后的X
if( zxs+zys >= 4.0 ) //如果此点的循环次数未到，有发散的情况，则置为false。
inset = false;
}
if( inset ) //如果不发散，则置黑色
{
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB( 0,0,0 ); //这种方法能实现。下面两种方法都可以。
}
else //如果扩散，则用迭代次数times来设置像素点的颜色。
{
red=( times+100 )%200+50; //这几种颜色的数字可以试着修改，会得到不同的颜色。这里的red、green、blue不是真正的红色、绿色和蓝色，而是后面的参数。
green=( times+red )%200+50;
blue=( red+green )%200+50;
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB(red,green,blue); //转换为TColor。
}其中，
C++builder中，
FractalImage->Canvas->Pixels[i][j]=TColor RGB(red,green,blue);在RGB(red,green,blue)前加TColor，强制转换为TColor，否则编译会出现warning ，但连接能够通过，程序能够正常运行。
头文件
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef mainH
#define mainH
//---------------------------------------------------------------------------
#include#include#include#include#include//---------------------------------------------------------------------------
class TMainForm : public TForm
{
__published: // IDE-managed Components
TImage *FractalImage; //显示分形图像
TShape *ZoomShape; //放大选择框
TButton *ResetBut; //复位按钮
TButton *ZoomBut; //放大按钮
TButton *ExitBut; //显示放大选择框右上角y坐标
TEdit *IterationEdit; //用于输入迭代次数。迭代次数越大，图像越精细，但计算越慢。太大会非常的慢；超过10亿次报错。
TEdit *ScaleEdit; //仅用于显示放大倍数。
TLabel *IterationLabel;//迭代次数标签
TLabel *ScaleEditLabel;//放大倍数标签
void __fastcall FormCreate(TObject *Sender); //程序初始化部分
void __fastcall ResetButClick(TObject *Sender); //分形重置
void __fastcall ZoomButClick(TObject *Sender); //放大
void __fastcall ExitButClick(TObject *Sender);
void __fastcall FractalImageMouseDown(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
int X, int Y);
void __fastcall FractalImageMouseUp(TObject *Sender, TMouseButton Button, TShiftState Shift,
int X, int Y);
void __fastcall FractalImageMouseMove(TObject *Sender, TShiftState Shift, int X, int Y);
private: // User declarations
bool FinishFlag; //完成画图标志
double c_Real, c_Image; //计算公式中，常数部分的实况与虚部
double X0,Y0; //最原始的两个坐标
double x1,y1; //选择待放大图像部分的坐标值
double LtX, LtY; //记录鼠标按下时的坐标值。实际代码中，未用到ltY
double ltx,lty, rbx, rby; //左上角：left top x，left top y,右下角：right bottom x, right bottom y
double width; //
double width1; //分形的坐标宽度（不是按照像素数量宽度）。
int IterationDetail; //迭代次数。越大，越精细，但也越慢。
bool mousedownFlag; //鼠标按下标志。
public: // User declarations
__fastcall TMainForm(TComponent* Owner);
};
//---------------------------------------------------------------------------
extern PACKAGE TMainForm *MainForm;
//---------------------------------------------------------------------------
#endif 该程序对计算机的整体配置不是很高，但对于CPU的计算能力有较高的要求，对硬盘和内存要求不高。
我的笔记本是10年前的，Intel(R) Core(TM) i5-4200U CPU @ 1.60GHz 2.30 GHz，迭代次数在100000（十万）时，还勉强能算，再高，就非常慢了。
下面一张都是上面一张图片的局部放大图片。
图8 与图7 相比，迭代次数增加到10万次。可以看出，细节明显不一样。后面的计算都是按照10万次计算的。图片细节好，但我的笔记本比较慢。
再放大，就开始马赛克了。
程序本身不复杂，代码很少。
我已经将该程序源代码、可执行程序压缩为压缩包，上传到资源上。release版本可以拿出来单独运行。有兴趣的可以运行一下试试。
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