二叉树的遍历

5.1树的概念

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树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树

1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。

2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；

3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；

4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。

5.树的表示

树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如上图可写成如下形式：

(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))

5. 2 二叉树

1.二叉树的基本形态：

二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：

(1)空二叉树——(a)；

(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；

(3)右子树为空的二叉树——(c)；

(4)左子树为空的二叉树——(d)；

(5)完全二叉树——(e)

注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

2.两个重要的概念：

(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。

如下图：

完全二叉树

满二叉树

3.二叉树的性质

(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；

(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h=1)，最少有h个结点；

(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，

则N0=N2+1；

(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1

(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：

若I为结点编号则 如果I1，则其父结点的编号为I/2；

如果2*I=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*IN，则无左儿子；

如果2*I+1=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1N，则无右儿子。

4.二叉树的存储结构：

(1）顺序存储方式

type node=record

data:datatype

l,r:integer;

end;

var tr:array[1..n] of node;

(2)链表存储方式，如：

type btree=^node；

node=record

data:datatye;

lchild,rchild:btree;

end;

5.普通树转换成二叉树：凡是兄弟就用线连起来，然后去掉父亲到儿子的连线，只留下父母到其第一个子女的连线。

6.二叉树的遍历运算（递归定义）

(1)先序遍历

访问根；按先序遍历左子树；按先序遍历右子树

(2)中序遍历

按中序遍历左子树；访问根；按中序遍历右子树

(3)后序遍历

按后序遍历左子树；按后序遍历右子树；访问根

例1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。

program erchashu1;

var b:array[1..31] of char;

e:array[1..63] of byte;

n,h,i,k:integer;

procedure tree(t:integer);

begin

if e[t]=0 then exit

else

begin

write(b[t]);e[t]:=0;

t:=2*t;tree(t);

t:=t+1;tree(t);

end;

end;

begin

repeat

write('n=');readln(n);

until (n0) and (n6);

fillchar(e,sizeof(e),0);

k:=trunc(exp(n*ln(2)))-1;

for i:=1 to k do e[i]:=1;

for i:=1 to 26 do b[i]:=chr(64+i);

for i:=1 to 5 do b[26+i]:=chr(48+i);

h:=1 ;tree(h);

writeln;

end.

例2.用顺序存储方式建立一棵如图所示的二叉树，并对其进行先序遍历。

program tree1;

const n=15;

type node=record

data:char;

l,r:0..n;

end;

var tr:array[1..n] of node;

e:array[1..n] of 0..1;

i,j:integer;

procedure jtr;

var i:integer;

begin

for i:=1 to n do

with tr[i] do

readln(data,l,r);

end;

procedure search(m:integer);

begin

with tr[m] do

begin

write(data);

if l0 then search(l);

if r0 then search(r);

end;

end;

begin

jtr;search(1);writeln;

end.

例3 用链表存储方式生成上述二叉树，中序遍历之。

1.将上述二叉树用广义表表示为A(B(D,E(G)),C(F(,H)))

2.根据广义表串（以#结束）生成二叉树。

program ltree;

const n=8;

type trlist=^node;

node=record

da:char;

l,r:trlist;

end;

var s:array[1..n] of trlist;

p,root:trlist;

ch:char;

top,k:integer;

procedure creat(var head:trlist);

begin

read(ch);

top:=0;

while ch'#' do

begin

case ch of

'A'..'Z':begin new(p);p^.da:=ch;p^.l:=nil;p^.r:=nil;

if top0 then

case k of

1:s[top]^.l:=p;

2:s[top]^.r:=p;

end

end;

'(':begin top:=top+1;s[top]:=p;k:=1;end;

')': top:=top-1;

',': k:=2;

end;

read(ch);

end;

head:=s[1];

end;

procedure inorder(head:trlist);

begin

if head^.lnil then inorder(head^.l);

write(head^.da);

if head^.rnil then inorder(head^.r);

end;

begin

write('Input tree string:');

creat(root);

inorder(root);

end.

5.3 二叉树的应用

1. 哈夫曼树与哈夫曼码

树的路径长度：一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。

带权二叉树：给树的叶结点赋上某个实数值（称叶结点的权）。

带权路径长度：各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。

哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度最小的二叉树。

如何构建哈夫树：（思想是：权越大离跟越近）

program gojiantree;

const n=4;m=7;

type node=record

w:real;

parent,lchild,rchild:0..m

end;

htree=array[1..m] of node;

var htree1:htree;

procedure gjtree(var ht:htree);

var i,j:integer;

small1,small2:real;

p1,p2:0..m;

begin

for i:=1 to m do

with ht[i] do

begin

w:=0;lchild:=0;rchild:=0;parent:=0;

end;

for i:=1 to n do read(ht[i].w);

for i:=n+1 to m do

begin

p1:=0;p2:=0;

small1:=1000;small2:=1000;

for j:=1 to i-1 do

if ht[j].parent=0 then

if ht[j].wsmall1 then

begin small2:=small1;small1:=ht[j].w;p2:=p1;p1:=j end

else if ht[j].wsmall2 then begin small2:=ht[j].w;p2:=j end;

ht[p1].parent:=i;

ht[p2].parent:=i;

ht[i].lchild:=p1;

ht[i].rchild:=p2;

ht[i].w:=ht[p1].w+ht[p2].w;

end;

end;

begin

gjtree(htree1);

end.

哈夫曼码：哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0，1 表示，从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。

哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码，广泛应用实际中。

（原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分，为什么？）

2.排序二叉树

排序二叉树：每一个参加排列的数据对应二叉树的一个结点，且任一结点如果有左（右）子树，则左（右）子树各结点的数据必须小（大）于该结点的数据。中序遍历排序二叉树即得排序结果。程序如下：

program pxtree;

const

a:array[1..8] of integer=(10,18,3,8,12,2,7,3);

type point=^nod;

nod=record

w:integer;

right,left:point ;

end;

var root,first:point;k:boolean;i:integer;

procedure hyt(d:integer;var p:point);

begin

if p=nil then

begin

new(p);

with p^ do begin w:=d;right:=nil;left:=nil end;

if k then begin root:=p; k:=false end;

end

else with p^ do if d=w then hyt(d,right) else hyt(d,left);

end;

procedure hyt1(p:point);

begin

with p^ do

begin

if leftnil then hyt1(left);

write(w:4);

if rightnil then hyt1(right);

end

end;

begin

first:=nil;k:=true;

for i:=1 to 8 do hyt(a[i],first);

hyt1(root);writeln;

end.

3.堆排序

堆：设有数据元素的集合（R1,R2,R3,...Rn)它们是一棵顺序二叉树的结点且有

Ri=R2i 和Ri=R2i+1(或=)

堆的性质：堆的根结点上的元素是堆中的最小元素，且堆的每一条路径上的元素都是有序的。

堆排序的思想是：

1）建初始堆（将结点[n/2],[ n/2]-1,...3,2,1分别调成堆）

2）当未排序完时

输出堆顶元素，删除堆顶元素，将剩余的元素重新建堆。

程序如下：

program duipx;

const n=8;

type arr=array[1..n] of integer;

var a:arr;i:integer;

procedure sift(var a:arr;l,m:integer);

var i,j, t:integer;

begin

i:=l;j:=2*i;t:=a[i];

while j=m do

begin

if (jm) and (a[j]a[j+1]) then j:=j+1;

if ta[j] then

begin a[i]:=a[j];i:=j;j:=2*i; end

else exit;

end;

a[i]:=t;

end;

begin

for i:=1 to n do read(a[i]);

for i:=(n div 2) downto 1 do

sift(a,i,n);

for i:=n downto 2 do

begin

write(a[1]:4);

a[1]:=a[i];

sift(a,1,i-1);

end;

writeln(a[1]:4);

end

Go语言list（列表）

2021-11-10

列表是一种非连续的存储容器，有多个节点组成，节点通过一些变量记录彼此之间的关系

单链表和双链表就是列表的两种方法。

原理：A、B、C三个人，B懂A的电话，C懂B的电话只是单方知道号码，这样就形成了一个单链表结构。

如果C把自己的号码给B，B把自己的号码给A，因为是双方都知道对方的号码，这样就形成了一个双链表结构

如果B换号码了，他需要通知AC，把自己的号码删了，这个过程就是列表的删除操作。

在Go语言中，列表使用 container/list 包来实现，内部的实现原理是双链表，列表能够高效地进行任意位置的元素插入和删除操作。

列表初始化的两种办法

列表没有给出具体的元素类型的限制，所以列表的元素可以是任意类型的，

例如给列表中放入了一个 interface{} 类型的值，取出值后，如果要将 interface{} 转换为其他类型将会发生宕机。

双链表支持从队列前方或后方插入元素，分别对应的方法是 PushFront 和 PushBack。

列表插入函数的返回值会提供一个 *list.Element 结构，这个结构记录着列表元素的值以及与其他节点之间的关系等信息，从列表中删除元素时，需要用到这个结构进行快速删除。

遍历完也能看到最后的结果

学习地址：

Go语言实现二叉树遍历

图例如下:

结果应该是分别是：

广度优先: a - b - c - d - f - e - g

先序遍历: a - b - d - e - f - g - c

中序遍历: e - d - b - g - f - a - c

后序遍历: e - d - g - f - b - c - a

结果存在result里面，如果不存可以少一层变量

这个地方强烈建议读一下下面的第一个链接，我遵照着那篇文章实现的，只是用Go改写了而已。

首先定义一个数据结构，用来存储一些Node的信息。

这里是可以运行的，但是总会抛出一个数组越界的错误，我看了半天也没看出来哪里有问题，Mac版的devel我这边又有bug，没用起来。至少思路对了，我后面再看一下哪里的问题。(感谢 @RiXu 指正)

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