阶数为5，6，14，15的循环群的生成元分别有多少个？6阶单位根群U6，这是一个循环群。每个元素的顺序是1（1）、2（a^3）、3（a^2、a^4）和6（a、a^5）。6阶的两个元素是生成器。设G是6阶循环群，则G的生成元有____________个？

子组的顺序是组顺序的因子。有四个6的因子：1，2，3和6，所以有四个亚组。生成器不一定是唯一的。这里，a，a^3和a^5都是生成器。

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发电机为1、3、5、7、9、11、13、15。所有小于16的数都是16的互质。2阶1[0]的子群（[8]={[8][0]}4阶（[4]={[4][8][12]}）

循环群必须是阿贝尔群，所以有限循环群和无限循环群都是阿贝尔群它是G的生成元

设

]群（G，*）是阿贝尔群。

4。一些重要结论

]1。循环群的子群必须是循环群，

2。如果|g|是素数，那么群g必须是交换群，

3。如果|g|≤5，则群g必须是交换群，

4。如果G是有限循环群，|G|=n，]

为什么说阶不大于5的群必是交换群呢？

证明了如果G是循环群，则G必须由元素生成，如果取其生成元a，则G=（a）。

H是G的子群（非空，操作闭合，结合律）。如果h是一个恒等群，那么h显然是一个循环群。如果h不是单位群，则h必须包含具有最小正幂m>0的元素a^m。

如果M<0，那么a^M的逆元素a^（-M）也在H中，并且-M>0，所以我们总是取M大于0。

那么H中的元素可以表示为a^m的任意幂，即（a^m）^n=a^（m·n），n∈Z。假设H中存在一个元素a^（m·nr），0<R<M。如果这个元素不存在，那么G组是a^m生成的循环组。现在证明这个元素不存在。

假设h组中有a^s∈h和a^s=a^（m·nr），即a^s=（a^m）^n·a^r。如果a^r放在方程的一侧，我们可以得到a^r=a^s·（a^m）^（-n），其中a^s和a^m是h中的元素，a^r也应该属于h。但是0<R

也就是说，H中的任何元素a^s是a^m的任意幂，因此H是由a^m生成的循环群。

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